“ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ”

ಮಾನವನ ಆಲೋಚನೆ, ಕ್ರಿಯೆ, ಜಗತ್ತಿನ ಗ್ರಹಿಕೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸೀಮಿತವೆಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು. ಈ ಜಗತ್ತನ್ನು ನಮ್ಮ ಸೀಮಿತಗ್ರಹಿಕೆಯೊಳಗೆ ಕಟ್ಟಿಡುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಬಿಗ್ ಬ್ಯಾಂಗ್ ಎಂದಾಗ ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮೂಡುವ ಆ ಸ್ಪೋಟ ಕೂಡಾ ನಾವು ನೋಡಿರಬಹುದಾದ ಅತೀ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಪೋಟದ ಎರಡುಮೂರು ಪಟ್ಟಷ್ಟೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಕೂಡಾ ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿ ತೀರಾ ಮೂಲಾವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ. ಒಂದು ಲಕ್ಷವೆಂದರೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಕೆಲವರು ಒಂದು ಕೋಟಿಯನ್ನೂ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನೂರು ಕೋಟಿಯನ್ನೂ ಕಷ್ಟಪಟ್ಟು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಜೆಫ್ ಬೆಝೋಸನ ಆಸ್ತಿ ಎಂಟು ಲಕ್ಷದ ಮೂವತ್ತೇಳು ಸಾವಿರದ ಎಂಟುನೂರಾ ಮೂವತ್ತೊಂವತ್ತು ಕೋಟಿ ರೂಪಾಯಿಯಂತೆ. ಅದೊಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ನಮಗೆ ಗೊತ್ತು. ಆದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕಲ್ಪನೆಯಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಅಂದರೇನು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನೀವು ಟಿಕ್-ಟಾಕ್ ತಾರೆ ಹಂಫ್ರಿ ಯಾಂಗ್ (Humphrey Yang) ಎಂಬಾತ ಈ ಕೋಟ್ಯಾದಿಪತಿಗಳ ಆಸ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಡಿರುವ ವಿಡಿಯೋ ಒಂದನ್ನು ನೋಡಬೇಕು. ಅದರಲ್ಲಿ ಆತ “ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ ಇದ್ದರೆ, ನೀವೊಂದು ಮೂರು ಲಕ್ಷ ಡಾಲರಿನ ಲಾಂಬೋರ್ಗೀನಿ ಕಾರು ಕೊಂಡರೆ ಅಥವಾ ಮಾಲಿಬುವಿನಲ್ಲೊಂದು ಐವತ್ತು ಲಕ್ಷ ಡಾಲರಿನ ವೈಭವೋಪೇತ ಬಂಗಲೆ ಖರೀದಿಸಿದರೂ, ಹಾಗೂ ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದಿಪ್ಪತ್ತು ಮಿಲಿಯನ್ ಡಾಲರ್ ಸೇರಿಸಿದರೂ ನಿಮ್ಮ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬದಲಾವಣೆಯೇನೂ ಆಗುವುದೇ ಇಲ್ಲ” ಎಂಬುದನ್ನು ಚಂದವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಇದೇ ರೀತಿ ಮೂಲದಿಂದ ಒಂದಷ್ಟು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದರೂ, ಒಂದಷ್ಟನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೂ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲೂ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಅದನ್ನು ಅನಂತ ಅಥವಾ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಎನ್ನಲಾಗುತ್ತದೆ. “ಅನಂತ” ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಕೇಳುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ನಮ್ಮ ಮೆದುಳು ತಕ್ಷಣವೇ ನಾವು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗದ ಅಗಾಧವಾದದ್ದೊಂದನ್ನು ಯೋಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಆ ಅಗಾಧ ಎಂದರೆ ಏನು ಅಂತಲೇ ನಮಗೆ ಎಂದಿಗೂ ತಿಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾಕೆಂದರೆ ಅನಂತ ಎಂದರೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅಪಾರವೂ ಕೂಡಾ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಲೆಮ್ನಿಸ್ಕೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ‘ꝏ’ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನಂತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಶಾಲಾ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದೇ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಥೆ ಬಿಡಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಹಂತದ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲೂ ನೀವು ಅನಂತ ಅಥವಾ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ(infinitesimal)ವನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಂತತೆಯ ಕುರಿತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲೂ ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೇಳಿಕೊಡುವ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ “ಎಂದಿಗೂ ಕೂಡಾ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಾರದು” ಎಂದಷ್ಟೇ. ಏಕೆಂದರೆ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಿಮಗೆ ಅನಂತತೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ ಹೆದರಿಸಿಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಪದವಿ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿದಾಗಲೂ ನಾನು ಬೆರಗುಗಣ್ಣಿನಿಂದ ನೋಡಿ ಸುಮ್ಮನಾದೆನೇ ಹೊರತು ನಿಜಕ್ಕೂ ಅನಂತವೆಂದರೇನು ಅಂತಾ ತಿಳಿಯಿತು ಎಂದು ಹೇಳಲಾರೆ.

ನನಗೆ ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕುತೂಹಲ ಮತ್ತೆ ಮೂಡಿದ್ದು ಹಾಗೂ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅರ್ಥವಾದದ್ದು, ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯನ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಓದಿದಾಗ. ಭಾರತದ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಮತ್ತು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎರಡೂ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ತೀರಾ ಸಾಮಾನ್ಯಜ್ಞಾನವೇನೋ ಎಂಬಂತೆ ಲೀಲಾಜಾಲವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಪ್ರಕಟಿತ ಬೀಜಗಣಿತ (ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಕೃತಿ) ಮತ್ತು ಲೀಲಾವತಿ (ಅಂಕಗಣಿತದ ಕುರಿತ ಕೃತಿ). ಭಾಸ್ಕರಚಾರ್ಯರು ಕರ್ನಾಟಕದ ಬಿಜಾಪುರದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ, ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನ ಕಾಲದ ಪ್ರಖರ ಪ್ರತಿಭೆಯ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (differential calculus) ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (integral calculus)ದ ಜನಕರೆಂಬ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಕೊಡಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಪ್ರವರ್ತಕರೆಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಭಾಸ್ಕರಚಾರ್ಯರಿಗೇ ಕೊಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಿದಕ್ಕೆ ಬಲವಾದ ಪುರಾವೆಗಳೂ ಇವೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ‘ಬೀಜಗಣಿತ’ದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಈ ಶ್ಲೋಕವನ್ನು ನೋಡಿ:

ವಧಾದೌ ವಿಯತ್ ಖಸ್ಯ ಖಂ ಖೇನ ಘಾತೇ ಖಹರೋ ಭವೇತ್ ಖೇನ ಭಕ್ತಶ್ಚ ರಾಶಿಃ||

ಅಂದರೆ, “ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಶೂನ್ಯವೇ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ “ಖಹರಾ’ (ಶೂನ್ಯ-ಭಾಗಿತ, ಅಥವಾ ಅನಂತ)ವೇ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗುತ್ತದೆ”. ಇದರ ಜೊತೆಗೇ ‘ಖಹಾರ’ಕ್ಕೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮತ್ತು ವರ್ಣರಂಜಿತವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನೂ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಅಸ್ಮಿನ್ ವಿಕಾರಃ ಖಹರೇ ನ
ರಾಶಾವಪಿ ಪ್ರವಿಷ್ಟೇಶ್ವಪಿ ನಿಹ್ಸೃತೇಷು|
ಬಹುಷ್ವಪಿ ಸ್ಯಾತ್ ಲಯ-ಸೃಷ್ಟಿಕಾಲೇ
ಅನಂತೇ ಅಚ್ಯುತೇ ಭೂತಗಣೇಶು ಯದ್ವತ್||

ಪ್ರಪಂಚದ ಸೃಷಿ ಮತ್ತು ಲಯ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ತನ್ನ ಮೂಲಾತ್ಮದಿಂದಲೇ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಎರವಲು ಪಡೆದು ಹುಟ್ಟುವ ಜೀವಿಗಳ ಜನನದಿಂದ, ಹಾಗೂ ಅವುಗಳ ಮರಣದ ನಂತರ ಆ ಆತ್ಮಗಳು ಮರಳಿ ಬಂದು ತನ್ನೊಳಗೇ ಸೇರುವುದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಅನಂತನಾದ ಅಚ್ಯುತನ ಸಂಯೋಜನೆ, ಇರುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಾಣ್ವಿಕೆಯಲ್ಲೆ ಏನೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವೋ, ಹಾಗೆಯೇ ಖಹರಕ್ಕೆ ಏನನ್ನಾದರೂ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ಖಹರಾದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಖಹರವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಖಹರ ಮಾತ್ರವೇ ಉಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೇ ಮುಂದುವರಿಸಿ ಕೂಡುವಿಕೆಯ ಸರಳೀಕೃತ ವಿಧಾನವಾದ ಗುಣಿತದಲ್ಲೂ ಕೂಡಾ “ಖಹರದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೂ, ಖರವೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ” ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಸರಳೀಕೃತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀವು ಶ್ರೀಯುತ ಅವಿನಾಶ್ ಸಥಾಯೇ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ (https://bit.ly/2OFGegk) ಓದಬಹುದು.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭೌದ್ಧ ಮತ್ತು ಜೈನಗ್ರಂಥಗಳು ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇಂತಹ ವಿವಿಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಧಾರ್ಮಿಕ ಅಥವಾ ತಾತ್ವಿಕ ಹೊಳಹುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವಾದರೂ, ಬಹಳಷ್ಟು ಕಡೆ ಗಣಿತದ ಗಂಭೀರ ಮಂಥನವನ್ನೂ ಹೊಂದಿವೆ. ಬೌದ್ಧ ಗ್ರಂಥಗಳ ಪ್ರಕಾರ ‘ಭೋಧಿಸತ್ವ’ವೆಂಬುದು ಅತೀ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ. 10^37218383881977644441306597687849648128 ಮಾಡಿದರೆ ಸಿಗುವ ಉತ್ತರವೇ ಭೋಧಿಸತ್ವವಂತೆ. ಅವರಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಜ್ಯೋತಿಭ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ. 10^80000 ಅನಂತಗಳು ಎಂದರೆ ಒಂದು ಜ್ಯೋತಿಭವಂತೆ. ಇವತ್ತಿನ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಆ ಜ್ಯೋತಿಭವೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅನಿಸಲಿಕ್ಕಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಯಾವುದು ಮನುಷ್ಯನ ಗ್ರಹಿಕೆ ಹೊರಗಾದದ್ದೋ ಅದೇ ಅನಂತವಾಯ್ತು. ಹಾಗೂ ಆ ಅನಂತವನ್ನೇ ದೇವರೆಂಬ ಕಲ್ಪನೆಗೂ ಆರೋಪಿಸಲಾಯ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯ ಎಲ್ಲ ಅನಂತಗಳೂ ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ. ಅನಂತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ನಮಗೆ ಸೀಮಿತ (finite), ಅಸೀಮಿತ (infinite), ಸಂಖ್ಯಾತ (numerable) ಮತ್ತು ಅಸಂಖ್ಯಾತ (innumerable)ಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟಕಲ್ಪನೆಯಿರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮಂದಿಗೆ ‘ಎಣಿಸಲಾಗದ್ದೆಲ್ಲಾ ಅನಂತ’ ಎಂಬ ಅನಿಸಿಕೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಮರಳಿನ ಕಣಗಳ ಲೆಕ್ಕ ಕೇಳಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನವರು ‘ಅಯ್ಯೋ ಬಿಡಪ್ಪ, ಅನಂತಾನಂತ ಕಣಗಳಿವೆ’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವೇ ಕೆಲವರು ‘ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಕಣಗಳಿವೆ’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಯಾಕೆಂದರೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಮರಳಿನ ಕಣಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ನಮಗೆ ಕಾರ್ಯತಃ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಹೌದು. ಹಾಗಂತ ನಮ್ಮ ಕೈಲಾಗದತನಕ್ಕೆ ಅನಂತತೆಯ ನಿದರ್ಶನ ಕೊಡುವುದು ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು. ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ಮರಳಿನ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಣಿಸಿದರೂ ಸಿಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ (ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದು. ಆದರೆ ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದುದೇನೆಂದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೀಮಿತವಾದದ್ದೇ). ಇಂದಿನ ಬಹುಜನರಿಗೆ ಬಿಡಿಸಲಾಗದ ಒಗಟಾಗಬಲ್ಲ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತದ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಜಿನಗ್ರಂಥಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಅವತ್ತೇ ಪರಿಚಯಿದ್ದರು. ಹಾಗೂ ಅವರು ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬಹುಆಯಾಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ ಕೂಡಾ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಲೀಲಾವತಿಯಲ್ಲಿ (ಶ್ಲೋಕ 48), ಭಾಸ್ಕರಚಾರ್ಯರು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ

ಶೂನ್ಯೇ ಗುಣಕೇ ಜಾತೇ ಖಂ ಹಾರಶ್ಚೇತ್ ಪುನಸ್ತದಾ ರಾಶಿಃ|
ಅವಿಕೃತ ಏವ ಜ್ನ್ಯೇಯಸ್ತಥೈವ ಖೇನೋನಿತಶ್ಚ ಯುತಃ||

ಹೇಗೆ ಸಮೀಕರಣವೊಂದರಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಅಥವಾ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬದಲಾಗದೇ ಉಳಿದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೋ, ಹಾಗೇಯೇ ಶೂನ್ಯವು ಗುಣಕವಾಗಿದ್ದು ಹಾಗೂ ಅದರಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಬದಲಾದರೆ, ಮತ್ತದನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಂತಾದರೆ, ಅದು (ನಿಜವಾಗಿಯೂ) ಬದಲಾಗಿಯೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು!

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಕಾಲಕ್ಕಿಂತೂ ಪುರಾತನವಾದ, ಶುಕ್ಲಯಜುರ್ವೇದದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಈಶಾವಾಸ್ಯ ಉಪನಿಷತ್ತಿನ ಆರಂಭಿಕ ಶ್ಲೋಕ ಅನಂತತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಮಗೆ ಕಟ್ಟಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅದು ಹೇಳುವಂತೆ:

ಓಂ ಪೂರ್ಣಮದಃ ಪೂರ್ಣಮಿದಂ ಪೂರ್ಣಾತ್ ಪೂರ್ಣಮುದಚ್ಯತೇ|
ಪೂರ್ಣಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಮಾದಾಯ ಪೂರ್ಣಮೇವಾವಶಿಷ್ಯತೇ||

ಅಂದರೆ, ಓಂ ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಅದು (ಅಜ್ಞಾತ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವೇ), ಇದು (ಪ್ರತೀತ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡ – ನಾನಿರುವ ಲೋಕ) ಕೂಡಾ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ನನ್ನ ಈ ಪೂರ್ಣತೆ ಕೂಡಾ ಆ ಪೂರ್ಣತೆಯಿಂದಲೇ ಪಡೆದಿರುವಂತದ್ದು. ಆ ಪೂರ್ಣತೆಯಿಂದ ನಾನು (ಮತ್ತು ನನ್ನ ಲೋಕ) ಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೂ ಆ ಮೂಲ ಪೂರ್ಣತೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪ ಬದಲಾವಣೆಯೂ ಆಗಿಲ್ಲ.

ಇಂದಿನ ಸುಧಾರಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆ ಎಂಬುದೊಂದು ಕೇಂದ್ರಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಷಯವೊಂದರಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ನಾಗರೀಕತೆ ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳು ಆ ಕಾಲದಲ್ಲೇ ಅಷ್ಟೆಲ್ಲಾ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸಿದ್ದೇವೆಂದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಎಷ್ಟು ಶ್ರೀಮಂತ ಮತ್ತು ಸಮೃದ್ಧವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅನಂತದ ಕಲ್ಪನೆ ನಿಮ್ಮ ಅನಾನಂತ ಮೆದುಳಿನಲ್ಲಿ ಪುರಾತನ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ, ಎರಡೂ ರೀತಿಯಲ್ಲೂ ದಾಖಲಾಗಲಿ.